二维 Coulomb 气体与重整化能量

我们研究了具有一般势和任意 $\beta$（温度的倒数）的经典二维“Coulomb 气体”的统计力学。在某些特定情况下，此类系综也对应于随机矩阵模型。形式极限情况 $\beta=\infty$ 对应于“加权 Fekete 点集”，也属于我们的分析范畴。已知在此类系统中，点应渐近地按照宏观“平衡测度”分布，且对此成立大偏差原理，这已由 Ben Arous 和 Zeitouni 证明。通过对哈密顿量的适当拆分，我们将该问题与“重整化能量” $W$ 联系起来，这是我们在先前工作中引入的平面上点的 Coulomb 相互作用，有望成为衡量平面上无限点构型无序度的良好方式。由此，我们能够在微观尺度上考察该情况，并获得若干新结果：配分函数的下一阶渐近展开、微观尺度上偏离平衡测度的涨落概率估计，以及一个大偏差型结果，该结果指出 $W$ 高于某阈值的构型具有指数级小概率。当 $\beta \to \infty$ 时，该估计变得精确，表明系统必须向 $W$ 的极小值“结晶”。在加权 Fekete 点集的情况下，这意味着这些点集在微观上几乎处处应类似于 $W$ 的极小化子，后者被猜想为“Abrikosov”三角晶格。