层次整数值高斯模型与库仆气体模型中的相变与临界行为

给定侧长为 $L^n$ 的正方形区域 $\Lambda_n\subseteq\mathbb Z^2$，我们研究层次随机场 $\{\phi_x\colon x\in\Lambda_n\}$，其概率分布与 ${\rm e}^{\frac12\beta(\phi,\Delta_n\phi)}\prod_{x\in\Lambda_n}\nu({\rm d}\phi_x)$ 成比例，其中 $\beta>0$ 为逆温度，$\Delta_n$ 为 $\Lambda_n$ 上的层次拉普拉斯算子，$\nu$ 为 $\mathbb R$ 上的非退化 1-周期测度。我们的设置包含整数值高斯场（即 DG 模型或 Villain 模型）和正弦-希尔顿模型。依托重整�群分析，我们推导当 $n\to\infty$ 时，协方差 $\langle\phi_x\phi_y\rangle$ 与分数电荷 $\langle {\rm e}^{2\pi {\rm i}\alpha(\phi_x-\phi_y)}\rangle$ 在亚临界 $\beta<\beta_{\rm c}:=\pi^2/\log L$、临界 $\beta=\beta_{\rm c}$ 和稍超临界 $\beta>\beta_{\rm c}$ 三个 regime 中的精确渐近公式。该场在整个范围内表现出对数相关性，尽管其协方差规模和分数电荷指数在亚/超临界 regime 中均呈现显著的 $\beta$ 依赖性。在临界点出现显式的对数修正项。