Ising模型中的相变：带衰减场的半无限模型与随机场长程模型

在本论文中，我们展示了两个模型的相变结果：带衰减场的半无限Ising模型和带随机场的长程Ising模型。我们研究了具有外部场 $h_i = \lambda |i_d|^{-\delta}$ 的半无限Ising模型，其中 $\lambda$ 为壁影响，且 $\delta>0$。该外部场随着远离壁而衰减。我们能够证明，当 $\delta>1$ 且 $\beta > \beta_c(d)$ 时，存在一个临界值 $0< \lambda_c:=\lambda_c(\delta,\beta)$ 使得对于 $\lambda<\lambda_c$ 存在相变，而对于 $\lambda>\lambda_c$ 我们有Gibbs态的唯一性。此外，当 $\delta<1$ 时，对于任意正数 $\beta$ 和 $\lambda$，我们只有一个Gibbs态。对于带随机场的模型，我们将Ding和Zhuang最近的论证从最近邻相互作用扩展到长程相互作用，并证明了铁磁随机场Ising模型类中的相变。我们的证明将Fr"ohlich-Spencer轮廓推广到由Affonso、Bissacot、Endo和Handa提出的多维设置，与Fisher、Fr"ohlich和Spencer引入的粗粒化过程相结合。我们的结果表明，如果在维度 $d\geq 3$ 中拥有合适的轮廓系统，Ding-Zhuang策略对于 $\alpha > d$ 时的相互作用 $J_{xy}=|x-y|^{- \alpha}$ 也是有用的，从而提供了一种不使用重整化群方法（RGM）的替代证明，因为Bricmont和Kupiainen声称RGM在这种普适性下也应该有效。我们可以考虑具有高斯分布或伯努利分布的i.i.d.随机场。