高阶相变模型的 Gamma 收敛

我们研究当 $\varepsilon \to 0$ 时，$n \geq 2$ 阶奇异扰动相变模型的渐近行为，该模型由下式给出 \begin{align} G_\varepsilon^{\lambda,n}[u] := \int_I \frac 1\varepsilon W(u) -\lambda\varepsilon^{2n-3} (u^{(n-1)})^2 + \varepsilon^{2n-1} (u^{(n)})^2 \ dx, \quad u \in W^{n,2}(I), \end{align} 其中 $\lambda >0$ 是固定的，$I \subset \mathbb{R}$ 是一个有界开区间，$W \in C^0(\mathbb{R})$ 是一个合适的双井势。我们发现存在一个依赖于 $W$ 和 $n$ 的正临界参数，使得在次临界机制下，$G_\varepsilon^{\lambda,n}$ 关于 $L^1$ 拓扑的 $\Gamma$-极限由一个锐界面泛函给出。相应紧致性的基石是一个涉及高阶导数的新型非线性插值不等式，该不等式基于 Gagliardo-Nirenberg 型不等式。