相变的高阶非局部梯度理论

我们研究了一类由高阶分数阶项扰动的双阱能量的渐近行为。在一维情况下，该能量泛函具有如下形式：$$\frac{1}{\varepsilon}\int_I W(u(x))dx+\varepsilon^{2(k+s)-1}\frac{s(1-s)}{2^{1-s}}\int_{I\times I} \frac{|u^{(k)}(x)-u^{(k)}(y)|^2}{|x-y|^{1+2s}} dx\,dy$$ 定义在高阶分数阶Sobolev空间 $H^{k+s}(I)$ 上，其中 $W$ 为双阱势，$k\in \mathbb N$，$s\in(0,1)$ 且 $k+s>\frac12$。我们证明了这些泛函在 $\varepsilon\to 0$ 时 $\Gamma$-收敛到一个定义在 $BV(I;\{-1,1\})$ 上的尖锐界面泛函，形式为 $m_{k+s}\#(S(u))$，其中 $m_{k+s}$ 由如下最优轮廓问题给出：\begin{equation*} m_{k+s} =\inf\Big\{\int_{\mathbb R} W(v)dx+\frac{s(1-s)}{2^{1-s}}\int_{\mathbb R^2}\frac{|v^{(k)}(x)-v^{(k)}(y)|^2}{|x-y|^{1+2s}} dx\,dy : v\in H^{k+s}_{\rm loc}(\mathbb R), \lim_{x\to\pm\infty}v(x)=\pm1\Big\}. \end{equation*} 归一化系数 $\frac{s(1-s)}{2^{1-s}}$ 使得 $m_{k+s}$ 连续地插值于标准高阶Sobolev空间 $H^k(I)$ 上对应的 $m_k$，该 $m_k$ 由Modica和Mortola在 $k=1$ 情形、Fonseca和Mantegazza在 $k=2$ 情形以及Brusca、Donati和Solci在 $k\ge 3$ 情形下得到。本结果还推广了Alberti、Bouchitté和Seppecher、Savin和Valdinoci以及Palatucci和Vincini在 $k=0$ 且 $s\in(\frac12,1)$ 情形下的先前工作。