相变泛函的 $\Gamma$-收敛与随机均匀化

本文研究如下形式的奇异位扰相变泛函的渐近行为 $$F_k(u)=\frac{1}{\epsilon_k}\int_A f_k(x,u,\epsilon_k\nabla u)\,dx\,,$$ 其中 $u \in [0,1]$ 为相场变量,$\epsilon_k>0$ 为奇异位扰参数,即 $\epsilon_k \to 0$(当 $k\to +\infty$),且被积函数 $f_k$ 满足:对每个 $x$ 与每个 $k$,$f_k(x,\cdot ,0)$ 是在 0 和 1 处取零值的双势阱势。我们证明泛函 $F_k$ $\Gamma$-收敛(取子列意义下)到如下形式的表面泛函 $$F_\infty(u)=\int_{S_u\cap A}f_\infty(x,\nu_u)\,d\mathcal H^{n-1}\,,$$ 其中 $u\in BV(A;\{0,1\})$ 且 $f_\infty$ 由适当缩放极小化问题的双重极限刻画。随后我们将分析推广到随机均匀化情形,并对平稳随机被积函数证明了 $\Gamma$-收敛结果。