奇异扰动椭圆泛函的$\Gamma$-收敛与随机齐次化

我们研究如下形式的奇异扰动椭圆泛函的极限行为：$$\mathcal F_k(u,v)=\int_A v^2\,f_k(x,\nabla u)\.dx+\frac{1}{\varepsilon_k}\int_A g_k(x,v,\varepsilon_k\nabla v)\.dx\,,$$其中$u$是向量值Sobolev函数，$v \in [0,1]$为相场变量，$\varepsilon_k>0$为奇异扰动参数，即$\varepsilon_k \to 0$（当$k\to +\infty$）。在对被积函数$f_k$和$g_k$的温和假设下，我们证明若$f_k$在梯度变量上超线性增长，则泛函$\mathcal F_k$ $\Gamma$-收敛（沿子列）到一个脆性能量泛函，即一个表面被积函数不依赖于$u$跳跃幅度的自由不连续泛函。这一结果通过给出体积和被积函数的显式渐近公式得到，这些公式特别表明$\mathcal F_k$中的体积项与表面项在极限中解耦。该抽象的$\Gamma$-收敛分析由针对平稳随机被积函数的随机齐次化结果作为补充。