高斯随机矩阵中方差数的相变与边缘标度

我们考虑 $N\times N$ 高斯随机矩阵，其特征值的平均密度在 $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ 上具有 Wigner 半圆形式。对于此类矩阵，利用库仑气体技术，我们计算了 $N_L$ 个特征值位于区间 $[-L,L]$ 内的概率 $\mathcal{P}_{\scriptscriptstyle N,L}(N_L)$ 在大 $N$ 下的行为。该概率标度为 $\mathcal{P}_{\scriptscriptstyle N,L}(N_L=\kappa_L N)\approx\exp\left(-{\beta} N^2 \psi_L(\kappa_L)\right)$，其中 $\beta$ 是系综的 Dyson 指数，$\psi_L(\kappa_L)$ 是我们精确计算出的与 $\beta$ 无关的速率函数。随着 $L$ 的变化，我们识别出三个区域：(i) $\, N^{-1}\ll L<\sqrt{2}$（体区），(ii) $\ L\sim\sqrt{2}$ 且标度为 $\mathcal{O}(N^{-{2}/{3}})$（边缘），以及 (iii) $\ L > \sqrt{2}$（尾部）。我们发现方差数 $V_N(L)$ 作为 $L$ 的函数表现出剧烈的非单调行为：在体区（当 $L \sim {\cal O}(1/N)$ 时）经过 $\propto \ln (N L)$ 的对数增长后，$V_N(L)$ 在 $L$ 接近半圆边缘时急剧下降，随后在 $L > \sqrt{2}$ 时按拉伸指数衰减。$V_N(L)$ 在边缘处的这种“骤降”由标度函数 $\tilde V_{\beta}$ 描述，该函数在体区 (i) 和尾部 (iii) 之间平滑插值。对于 $\beta = 2$，我们利用 Airy 核显式计算了 $\tilde V_2$。这些经数值模拟验证的解析结果，直接提供了 $\beta=2$ 时谐振子势阱中零温下一维无自旋费米子粒子数涨落的完整统计特性。