主成分分析与Wishart随机矩阵中的相关方向数目
统计力学
2012-05-22 v1 数学物理
math.MP
摘要
我们解析计算了对于大N，一个N×N Wishart随机矩阵有N_+个特征值超过阈值Nζ的概率P(N_+,N)，包括其大偏差尾部。该概率在对大型经验数据集进行主成分分析时起着基准作用。我们发现P(N_+,N)≈exp(-β N^2 ψ_ζ(N_+/N))，其中β是系综的Dyson指数，ψ_ζ(κ)是一个速率函数，我们在完整范围0≤κ≤1内且对任意ζ显式计算了它。速率函数ψ_ζ(κ)在其最小值κ^⋆(ζ)附近表现出由对数奇异性调制的二次行为。这被证明是关联库仑气体问题中相变的结果。相关分量数目的方差Δ(N)也被证明对于大N以Δ(N)∼(β π^2)^{-1} ln N的方式普遍增长（与ζ无关）。
引用
@article{arxiv.1112.5391,
title = {Number of relevant directions in Principal Component Analysis and Wishart random matrices},
author = {Satya N. Majumdar and Pierpaolo Vivo},
journal= {arXiv preprint arXiv:1112.5391},
year = {2012}
}
备注
5 pag., 2 fig