尖峰和一般方差Wishart β-系综的概率密度与分布

当底层协方差矩阵只有一个特征值$b$不同于单位值时，Wishart矩阵被称为尖峰的。随着$b$增加通过$b=2$，最大特征值与谱的其余部分之间形成一个间隙，并且当$b-2$的量级为$N^{-1/3}$时，缩放后的最大特征值形成一个定义良好的参数依赖状态。Bloemendal和Virág [BV]以及Mo的近期工作从不同角度量化了实Wishart矩阵的这种参数依赖状态，而前两位作者对尖峰Wishart β-系综也做了类似的工作。后者是根据某些随机双对角矩阵定义的。我们利用递归结构给出了尖峰以及更一般的方差Wishart β-系综的另一种构造，并给出了递推中两个矩阵的联合特征值概率密度函数的精确形式。在实四元数Wishart矩阵（β = 4）的情况下，后者被认为出现在早期关于对称化末次通过渗流的研究中，从而可以给出最大特征值缩放分布的精确形式。这扩展并简化了Wang的早期工作，并且是对[BV]中结果的另一种推导。我们还利用[BV]中尖峰Wishart β-系综的构造，给出了特征值概率密度函数显式形式的简单推导。