秩1实Wishart尖刺模型

在本文中，我们考虑$W_{\mathbb{R}}(\Sigma,M)$类中的N维实Wishart矩阵Y，其中$\Sigma$除一个特征值外其余均为1。设$\Sigma$的非平凡特征值为$1+\tau$，则当N, $M\rightarrow\infty$，且$M/N=\gamma^2$有限非零时，Y的特征值分布将在体区域内收敛于Marchenko-Pastur分布。当$\tau$从零增加时，人们开始观察到Y的一个游离特征值出现在Marchenko-Pastur密度的支集之外。随着该游离特征值离开体区域，Wishart矩阵的最大特征值分布将发生相变。在本文中，我们将计算相变发生时最大特征值分布的渐近行为。我们将首先建立对所有N和M均成立的结果，并利用它们进行渐近分析。特别地，当X, Y为实对称矩阵且Y为秩1矩阵时，我们推导了Harish-Chandra Itzykson-Zuber积分$\int_{O(N)}e^{-\tr(XgYg^T)}g^T\D g$的围道积分公式。这使我们能够写出最大特征值分布的Fredholm行列式公式，并利用正交多项式技术对其进行分析。结果，我们得到了由Painleve超越函数表征的大N极限下最大特征值分布的积分公式。本文所用的方法与近期一篇论文（Bloemendal和Virag ArXiv:1011.1877）非常不同，后者使用随机算子方法获得了最大特征值分布。特别地，本文得到的最大特征值分布的Painleve公式是新的。