Wishart 矩阵的介观渐近性

我们研究当 $n,p\rightarrow\infty$ 但 $p/n\rightarrow 0$ 时，具有 $n$ 个自由度的实 $p$ 维 Wishart 随机矩阵的行为。我们确立了对于每个 $k\in\mathbb{N}$，当 $p$ 以 $n^{(K+1)/(K+3)}$ 阶增长时存在相变，并推导了每两个相变之间近似密度的表达式。为此，我们利用了一种我们称之为分布的 G-变换的新工具，它与特征函数密切相关。我们还推导了 $t$ 分布到实对称矩阵的推广，它在 G-变换下作为 Wishart 的共轭分布自然出现，并证明其经验谱分布在 $p/n\rightarrow 0$ 时服从半圆律。最后，我们讨论了 Wishart 分布的相变可能源于对称 $t$ 统计量的收敛速率的变化。