均匀 Gram 系综与 Wishart 系综中随机行列式的路径渐近性质

本文关注某些随机对称矩阵行列式的渐近性质。若 B_{n,r} 是一个 n x r 矩形矩阵，B_{n,r}' 为其转置，我们研究当 n,r 趋于无穷且 r/n \to c\in (0,1) 时 det (B_{n,r}'B_{n,r}) 的性质。B_{n,r} 的 r 个列向量独立选取，具有公共分布 \nu_n。Wishart 系综对应于 \nu_n = {\cal N}(0, I_n)，即标准正态分布。我们将对应于 \nu_n = \sigma_n（单位球面 S_{n-1} 上的均匀分布）的系综称为均匀 Gram 系综。在 Wishart 系综中，著名的 Bartlett 定理将上述行列式分解为若干卡方变量的乘积。均匀 Gram 系综中亦然。这使我们能够研究过程 \{\frac{1}{n}\log \det\big(B_{n,\lfloor nt\rfloor}'B_{n,\lfloor nt\rfloor}\big), t \in [0,1]\} 及其当 n\to \infty 时的渐近性质：a.s. 收敛、涨落、大偏差。我们将边际（固定 t）的结果与由谱方法所得结果相联系。