混合模型Gram矩阵的谱分析

本文致力于对建立在随机向量集合 $w_1, \ldots, w_n\in \mathbb{R}^p$（即 $W$ 的列）之上的Gram矩阵 $W^{\sf T} W$ 的某些谱性质进行渐近研究，其中观测数 $n$ 与观测维数 $p$ 均趋于无穷且量级相近。随机向量 $w_1, \ldots, w_n$ 是独立观测，每一个属于 $k$ 个类 $\mathcal{C}_1,\ldots, \mathcal{C}_k$ 之一。每个类 $\mathcal{C}_a$ ($1\le a\le k$) 的观测由其分布 $\mathcal{N}(0, p^{-1}C_a)$ 刻画，其中 $C_1, \ldots, C_k$ 是某些非负定 $p\times p$ 矩阵。类 $\mathcal{C}_a$ 的基数 $n_a$ 与观测维数 $p$ 满足 $\frac{n_a}{n}$ ($1\le a\le k$) 和 $\frac{p}{n}$ 远离 $0$ 和 $+\infty$ 有界。我们给出了 $W^{\sf T}W$ 的经验谱分布的确定性等价物及其预解矩阵的矩阵元素（以及 $WW^{\sf T}$ 的预解矩阵）。这些确定性等价物借助一个不动点系统的解来定义。此外，我们证明 $W^{\sf T} W$ 渐近地在其谱主体之外没有特征值，该谱主体由这些确定性等价物定义。这些结果直接用于我们的 companion paper “Kernel spectral clustering of large dimensional data”（大型维度数据的核谱聚类），该文致力于高维谱聚类算法的分析。它们也在其他诸多领域如无线通信中有应用，其中上述预解矩阵的函数可用来评估多用户多天线信道上的通信性能。