长程逾渗模型随机矩阵的渐近性质

我们研究了长程逾渗模型矩阵的谱性质。这些是$N\times N$随机实对称矩阵$H=\{H(i,j)\}_{i,j}$，其元素是独立随机变量，以概率$1-\psi((i-j)/b)$取零值，其中$b\in \mathbb{R}^{+}$，$\psi$是一个偶正函数，满足$\psi(t)\le{1}$且在无穷远处趋于零。我们在极限$N,b\to\infty$，$b=O(N^{\alpha})$，$1/3<\alpha<1$下研究预解式$G(z)=(H-z)^{-1}$，$Imz\neq{0}$，并得到预解式归一化迹$g_{N,b}(z)=N^{-1}Tr G(z)$的关联函数主导项的显式表达式$T(z_{1},z_{2})$。我们证明，在局部关联的标度极限下，该项导致表达式$(Nb)^{-1}T(\lambda+r_{1}/N+i0,\lambda+r_{2}/N-i0)= b^{-1}\sqrt{N}|r_{1}-r_{2}|^{-3/2}(1+o(1))$，该结果由其他作者先前针对带状随机矩阵系综得到。这表明比率$b^{2}/N$是本征值密度关联函数的正确标度，并且我们研究的系综与带状随机矩阵系综属于同一谱普适性类。