Hilbert $L$-矩阵的渐近谱性质

我们研究广义Hilbert $L$-矩阵 $$L_{n}(\nu)=\left(\frac{1}{\max(i,j)+\nu}\right)_{i,j=0}^{n-1},$$ 在阶数 $n$ 较大时的渐近谱性质。首先,对一般的 $\nu\neq0,-1,-2,\dots$,我们推导了 $L_{n}(\nu)$ 在原点之外特征值的渐近分布。其次,对 $\nu>0$,导出了 $L_{n}(\nu)$ 小特征值的渐近公式。第三,在经典情形 $\nu=1$ 下,我们还证明了 $L_{n}\equiv L_{n}(1)$ 大特征值的渐近公式。特别地,我们得到了 $\|L_{n}\|$ 的渐近展开,改进了截断Hardy不等式中最佳常数的Wilf公式。