Hermitian矩阵的谱展形

设$A$为$n\times n$复Hermitian矩阵，令$\lambda(A)=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in \mathbb{R}^n$表示$A$的特征值（计重数并按非增次序排列）。受低秩矩阵逼近理论中若干问题启发，我们研究$A$的谱展形，记为$\text{Spr}^+(A)$，由$\text{Spr}^+(A) =(\lambda_1-\lambda_{n}\, , \, \lambda_2-\lambda_{n-1},\ldots, \lambda_{k}-\lambda_{n-k+1})\in \mathbb{R}^k$给出，其中$k=[n/2]$（整数部分）。谱展形是$A$谱的向量值离散度量，可由此得到若干次优超不等式。本文中我们得到了与Tao关于半正定矩阵反对角块的不等式、Zhan关于半正定矩阵之差奇异值的不等式、子空间间直接旋转的极值性质、广义交换子以及Hermitian矩阵酉轨道中矩阵间距离相关的不等式。