关于由谱确定的对称双随机矩阵

如果一个对称双随机矩阵 A 的相似对称双随机矩阵仅具有 $P^TAP$ 的形式（其中 P 为某个置换矩阵），则称该矩阵由其谱确定。本文探讨了此类矩阵的刻画问题。Fang 等人曾提出一个几乎相同但更为困难的问题 [M. Fang, A note on the inverse eigenvalue problem for symmetric doubly stochastic matrices, Lin. Alg. Appl., 432 (2010) 2925-2927]，即：刻画所有 n 元组 $\lambda= (1,\lambda_2,...,\lambda_n)$，使得在置换相似意义下，存在唯一的具有谱 $\lambda$ 的对称双随机矩阵。在这篇短文中，我们首先获得了关于这两个问题的一些一般性结果。接着，我们完全解决了 n = 3 情形下的这两个问题。随后研究了与谱图论的一些联系。最后，针对一般情形，提出了两个开放性问题并引入了一个猜想。