关于具有独立元素的大型随机矩阵的渐近性质

我们研究了 $n\times n$ 实对称矩阵 $H=\big[(1+\delta_{jk})W_{jk}/\sqrt n\big]_{j,k=1}^n$ 的预解式的归一化迹 $g_n(z)=n^{-1} \mbox{tr} \, (H-zI)^{-1}$，假设其元素是独立的但不一定同分布的随机变量。我们发展了一种严格的方法，用于在 $|\Im z| \ge \eta_0$ 时对 $g_n(z)$ 的矩进行渐近分析，其中 $\eta_0$ 由 $W_{jk}$ 的二阶矩决定。利用该方法，我们找到了期望 ${\bf E}\{g_n(z)\}$ 和连通关联函数 ${\bf E}\{g_n(z_1)g_n(z_2)\}- {\bf E}\{g_n(z_1)\} {\bf E}\{g_n(z_2)\}$ 的渐近形式。我们还证明了在 $n=\infty$ 极限下，中心化迹 $ng_n(z)- {\bf E}\{ng_n(z)\}$ 具有高斯分布。基于这些结果，我们提出了支持此类随机矩阵系综局部本征值统计普适性的启发式论证。