关于随机正规矩阵特征值模长的特征多项式

我们研究特征多项式 $p_{n}(x)=\prod_{j=1}^{n}(|z_{j}|-x)$，其中 $z_{j}$ 抽取自 Mittag-Leffler 系综，即推广 Ginibre 点过程的二维行列式点过程。在 $r$ 位于体区（bulk）、$u \in \mathbb{R}$ 且 $a \in \mathbb{N}$ 的情形下，我们获得了矩生成函数 $\mathbb{E}[e^{\frac{u}{\pi} \, \mathrm{Im} \ln p_{n}(r)}e^{a \, \mathrm{Re} \ln p_{n}(r)}]$ 的精确大 $n$ 渐近。该期望涉及一个 $n \times n$ 行列式，其权函数支撑于整个复平面，具有旋转不变性，并沿以 $0$ 为圆心、半径为 $r$ 的圆具有跳跃型与根型奇异性。这种“圆形”根型奇异性不同于先前关于 Fisher-Hartwig 奇异性的工作，并出人意料地在渐近中产生了一种新成分，即所谓的关联 Hermite 多项式（associated Hermite polynomials）。