经典 $\beta$ 集团特征多项式的矩

对于具有单子对称性的随机矩阵集合，人们关心其特征多项式绝对值在临界线上对黎曼 zeta 函数以及 Toeplitz 行列式理论中的 Fisher-Hartwig 渐近现象的相关性。后者的渐近展开中的常数项（相对于 $N$ 而言），涉及 Barnes $G$ 函数，最相关于前者；而代数项（关于 $N$）以及关于幂的函数依赖性则是后者的主要关注点。Desrosiers 和 Liu [20] 已获得经典高斯、拉盖尔和雅各比 $\beta$ 集团在偶数矩情况下的类似展开。我们给出这些结果的简化推导——这需要使用对偶公式和多维积分的极值下降方法——并提供结果渐近表达式的误差界。经典 $\beta$ 集团的常数项与已知的圆形 $\beta$ 集团结果普遍性得到证实，这需要将其写成 Barnes $G$ 函数形式，而幂的函数依赖性则与线性统计量的高斯波动公式中出现的依赖性相关。在拉盖尔和雅各比情形下，我们的推导可扩展至权函数指数严格比例于 $N$ 的情形，给出文献中此前尚未出现的結果。