经典 $\beta$-系综特征多项式乘积的渐近性

我们研究了 $N\times N$ 随机矩阵的厄米（高斯）、拉盖尔（手征）和雅可比 $\beta$-系综特征值的局部性质。更具体地说，我们计算了当 $N\to\infty$ 时特征多项式乘积期望值的缩放极限。在每个 $\beta$-系综谱的体部（bulk），发现的相同缩放极限为 $e^{p_{1}}{}_1F_{1}$，其关于 Jack 多项式的精确展开是已知的。对于厄米和拉盖尔 $\beta$-系综，谱软边（soft edge）处的缩放极限被证明是多变量 Airy 函数，其定义为广义 Kontsevich 积分。作为推论，当 $\beta$ 为偶数时，获得了这三个系综的 $k$-点关联函数的缩放极限。还给出了多变量 Airy 函数在大参数和小参数下的渐近性。所有渐近结果都依赖于 Watson 引理的推广以及针对 Selberg 型积分的最速下降法。