高斯 $\beta$ 系综特征多项式的强逼近：边缘 regime 与随机 Airy 函数

我们通过转移矩阵递推研究一般 $\beta>0$ 的高斯 $\beta$ 系综的特征多项式。我们证明重标度后的特征多项式在极限谱边缘的邻域内收敛到一个随机整函数。该随机整函数称为随机 Airy 函数，是随机 Airy 方程（一族二阶随机微分方程）的唯一（至多差一个缩放的）$L^2$ 解。此外，我们得到了特征多项式与随机 Airy 方程解之间的一个耦合，由此可证明对任意 $\epsilon>0$，这两个函数以压倒性概率一致接近到 $N^{-1/6 + \epsilon}$。这些结果建立在作者先前分析特征多项式转移矩阵递推双曲部分的工作之上。