非Hermitian $\beta$ 集团的对数谱分布

我们引入一种非Hermitian $\beta$ 集团，并确定其在 $\beta$ 趋于大值和矩阵规模 $n$ 趋于大值限制下的谱密度。该集团由一般的三对角复随机矩阵组成，其中包含正常分布和卡方分布的随机变量，延续了两位作者之前的工作。特征值的联合分布包含一个 $\beta$ 次方的范德米尔德行列式，以及对特征向量的残余耦合。在 $\beta \gg1$ 的低温极限下，该集团简化为对角元为零的中心化三对角雅可比矩阵。基于自由概率论中关于特征多项式系数方差的一般定理，使我们能够在同时取大 $n$ 极限时获得谱密度。该密度在紧凑圆上具有旋转不变性，由半径的对数加上常数给出。当从三对角复对称集团开始时也得到相同的密度，因此该集团起到了特殊作用。大量数值模拟确认了我们的解析结果，并将其与之前研究的集团放在伪谱谱的背景下进行了比较。