通过识别潜在的 Burgers 动力学揭示非厄米矩阵扩散中特征向量的意义

继我们最近的信件之后，我们详细研究了非厄米复矩阵的逐项扩散。我们获得了平均扩展特征多项式演化的精确偏微分方程（适用于任何矩阵大小 $N$ 和任意初始条件）。该多项式的对数被解释为在四元数空间中生成 Burgers 动力学的势。系综在大 $N$ 下的动力学完全由谱密度与特定特征向量关联函数的协同演化决定。这种协同演化在由两个复变量构建的四元数参量静电势中最为明显，其中第一个变量控制标准谱性质，而第二个变量揭示了特征向量关联函数的隐藏动力学。我们获得了适用于任意初始条件的谱密度和 1 点特征向量关联函数的大 $N$ 通用公式。我们通过求解三个例子来例证我们的研究，并通过数值模拟验证了解析解的形式。