酉不变 Hermitian 随机矩阵系综的稳定分布与吸引域

我们考虑定义在 Hermitian 矩阵集合上、具有重尾（特别地，并非所有矩都存在）且在酉群共轭作用下不变的随机矩阵系综。后一性质意味着特征向量为 Haar 分布，因而可从特征值统计中分解出来。借助多元稳定分布的分类与对称矩阵空间上的调和分析，我们证明了此类矩阵的稳定矩阵系综以矩阵、其特征值及其对角元表示的分类。此外，我们给出了其吸引域的充分必要条件。为说明我们的结论，我们讨论了例如椭圆不变随机矩阵系综与 Pólya 系综，后者在矩阵卷积中扮演特殊角色。作为副产品，我们将 Hermitian 矩阵上的导数原理推广至一般缓增分布。该原理关联了随机矩阵的特征值与对角元的联合概率密度。