反对称高斯 $\beta$-系综的三对角实现

对反对称高斯酉系综的成员进行 Householder 约化，可得到所有元素均独立的反对称三对角矩阵。这些随机变量允许引入正参数 $\beta$，相应随机矩阵的特征值概率密度函数可以被显式计算，特征向量首分量 $\{q_i\}$ 的分布亦可显式计算。文中给出了三种证明。其一涉及基于一族随机矩阵扩边的归纳构造，该族随机矩阵被证明与反对称三对角矩阵具有相同的分布。此证明利用了 Selberg 积分理论中的 Dixon-Anderson 积分。第二种证明涉及对实反对称三对角矩阵与其特征值及 $\{q_i\}$ 之间变量代换的雅可比行列式的显式计算。第三种证明将反对称高斯 $\beta$-系综的矩阵映射为实现 Laguerre $\beta$-系综特定实例的矩阵。除这些证明外，我们还指出了随机矩阵的射击特征向量及相关的 Prüfer 相的一些简单性质。