β 与 1/N 成比例的经典 β-系综：从圈方程到 Dyson 无序链

在随机矩阵理论的经典 $\beta$-系综中，令 $\beta = 2 \alpha/N$ 并取 $N \to \infty$ 极限，得到依赖于 $\alpha$ 的统计态。利用经典 $\beta$-系综的圈方程，我们研究了相应的特征值密度、其矩、单项式线性统计量的协方差，以及密度的前导 $1/N$ 修正的矩。根据早期文献，极限特征值密度已知与经典函数相关。我们的研究给出了这一事实背后的统一机制，特别辨识出在 Jacobi 情形下决定极限密度 Stieltjes 变换的高斯超几何微分方程。我们对单项式线性统计量的矩和协方差的刻画通过递推关系进行。此外，我们扩展了近期从高温极限下的 $\beta$-系综出发并构造称为 $\alpha$-系综的三对角矩阵族的工作，获得了具有独立同分布伽马分布随机变量的随机反对称三对角矩阵。由此我们能够补充 Dyson 在所谓 I 型无序链研究中得到的解析结果。