随机矩阵$\beta$系综的数量统计：在零温度囚禁费米子中的应用

令$\mathcal{P}_{\beta}^{(V)} (N_{\cal I})$为具有约束势$V(x)$的$N\times N$ $\beta$系综随机矩阵在区间${\cal I}=[a,b]$（实直线）内有$N_{\cal I}$个特征值的概率。我们引入一种基于库仑气体技术和预解式方法的通用形式体系，以解析计算大$N$下的$\mathcal{P}_{\beta}^{(V)} (N_{\cal I})$。我们证明该概率在大$N$下标度为$\mathcal{P}_{\beta}^{(V)} (N_{\cal I})\approx \exp\left(-\beta N^2 \psi^{(V)}(N_{\cal I} /N)\right)$，其中$\beta$为系综的Dyson指数。率函数$\psi^{(V)}(k_{\cal I})$与$\beta$无关，用易于数值计算的单积分表示。然后将该通用形式体系应用于经典的$\beta$-Gaussian(${\cal I}=[-L,L]$)、$\beta$-Wishart(${\cal I}=[1,L]$)和$\beta$-Cauchy(${\cal I}=[-L,L]$)系综。将率函数在其最小值附近展开，我们发现数方差${\rm Var}(N_{\cal I})$通常作为区间大小的函数表现出非单调行为，其最大值可被精确刻画。这些解析结果得到了数值模拟的证实，提供了许多适用随机矩阵模型的系统的全计数统计。特别地，我们给出了零温度一维无自旋费米子在谐波陷阱中的全计数统计结果。