周期性随机矩阵系综的谱分布

Kolo\u{g}lu、Kopp 和 Miller 计算了一类实随机矩阵系综（被称为 $k$-块循环系综）的极限谱分布，并发现它精确等于一个 $k \times k$ 高斯酉系综的特征值分布。我们给出了一个更简单的证明：在包含 Kolo\u{g}lu-Kopp-Miller 所研究情形的非常一般的条件下，具有周期对角的实对称系综的极限谱分布始终等于一个具有高斯元项的有限 Hermitian 系综的特征值分布，该系综是该系综的 $k \times k$ 子矩阵的“复版本”。我们还证明了某些具有高斯元项的周期性有限 Hermitian 系综之间的本质代数关系，前述结果可被视为其在实对称系综下的渐近版本。证明表明，周期性随机矩阵系综与有限复 Hermitian 系综之间的这种一般对应关系在本质上是初等且组合的。