基于对偶正交多项式的冻结随机矩阵模型的极限定理与软边

$N$ 维 Bessel 与 Jacobi 过程描述了含 $N$ 个粒子的相互作用粒子系统，并与 $\beta$-Hermite、$\beta$-Laguerre 及 $\beta$-Jacobi 系综相关。对固定 $N$，Dumitriu 与 Edelman（2005）在冻结区 $\beta\to\infty$ 下给出了 $\beta$-Hermite 与 $\beta$-Laguerre 情形中协方差矩阵 $\Sigma_N$ 用相关正交多项式零点表示的显式公式的弱极限定理（WLTs）。近来，作者以不同方式推导了这些 WLTs，并计算了 $\Sigma_N^{-1}$，给出了 $\Sigma_N^{-1}$ 乃至 $\Sigma_N$ 的特征值与特征向量公式。本文中，我们利用这些数据及 de Boor 与 Saff 的有限对偶正交多项式理论，由 $\Sigma_N^{-1}$ 推导 $\Sigma_N$ 的公式；对 $\beta$-Hermite 与 $\beta$-Laguerre 系综，我们的公式比 Dumitriu 与 Edelman 的更为简洁。我们利用这些多项式，借助 Airy 函数推导了 $N\to\infty$ 时冻结区软边的渐近结果。对 $\beta$-Hermite 系综，我们的极限表达式不同于 Dumitriu 与 Edelman。