Laguerre $\beta$ 系综在硬边处的有限尺寸修正

随机矩阵理论中的一个基本问题是量化到普适律的最优收敛速率。我们针对 Laguerre $\beta$ 系综研究此问题，该系综由 Dyson 参数 $\beta$ 以及硬边极限下的 Laguerre 权 $x^a e^{-\beta x/2}$（$x > 0$）刻画。后者涉及在缩放变量 $x \mapsto x/4N$ 中靠近原点的特征值。先前工作已建立了各种统计量的相应函数形式——例如最小特征值的分布，前提是 $a \in \mathbb Z_{\ge 0}$。我们利用基于 Jack 多项式的多维超几何函数理论证明，采用修正的硬边缩放 $x \mapsto x/4(N+a/\beta)$ 时，到极限分布的收敛速率为 $O(1/N^2)$，这是最优的。在 $\beta = 2$、一般 $a > -1$ 的情形下，此阶最小特征值分布的显式函数形式可以算出，对于 $a=1$ 与一般 $\beta > 0$ 的情形同样如此。我们给出了一个迭代格式，用于数值近似一般 $a \in \mathbb Z_{\ge 2}$ 时的函数形式。