Laguerre 和 Jacobi $\beta$ 系综中边缘特征值分布的计算

我们考虑 Laguerre 和 Jacobi $\beta$ 系综中边缘特征值分布的精确计算问题。当 $\beta=1$ 时，这是数理统计文献中长期存在的问题。对于 $\beta$ 为正整数且参数 $\lambda_1$ 为非负整数的情形，我们给出了完成此任务的递归过程。由于存在由初等函数构成的有限基，且其系数为多项式，该情形具有特殊性。在 $\beta = 1$ 且 $\lambda_1 + 1/2$ 为非负整数的 Laguerre 情形中，有证据表明再次存在有限基，此时由初等函数以及初等函数与误差函数的乘积组成。此外，由此可得固定迹情形下的相应分布允许由幂函数构成的有限基，$\lambda_1$ 为非负整数时亦然。此设定下的固定迹情形与量子信息理论和量子输运问题相关，特别是允许在以前难以处理的参数范围内精确确定 Landauer 电导分布。我们的发现还有助于分析特定间隙概率生成函数的零点，支持相关的大 $N$ 局部中心极限定理的有效性。