Laguerre、Gram 与 Jacobi 系综中随机行列式的渐近行为

我们考虑来自多元统计的一些随机对称矩阵行列式的性质：Wishart/Laguerre 系综（样本协方差矩阵）、均匀 Gram 系综（样本相关矩阵）与 Jacobi 系综（MANOVA）。若 $n$ 为样本大小，$r\leq n$ 为变量个数，$X_{n,r}$ 为这样的矩阵，则 Bartlett 型定理的一个推广将 $\det X_{n,r}$ 分解为 $r$ 个独立的 gamma 或 beta 随机变量的乘积。对固定的 $n$，我们研究当 $r$ 增长时的演化，然后取大 $r$ 与 $n$ 且 $r/n = t \leq 1$ 的极限。我们对独立增量过程序列 $\{n^{-1} \log \det X_{n, \lfloor nt\rfloor}, t \in [0, T]\}_n$（其中 $T \leq 1$）推导极限定理。由于行列式的对数是指验谱分布的线性统计量，我们将边际（固定 $t$）的结果与谱方法所得结果相联系。实际上，若我们将行列式定义为电荷的乘积，所有结果对 $\beta$ 模型均成立。