关于一类特殊的随机变量族与 Painlevé 方程

依赖于实参数 $s>-\frac{1}{2}$ 的一族随机变量 $\mathbf{X}(s)$，出现在随机酉矩阵及其导数的特征多项式联合矩的渐近性中，出现在 Hua-Pickrell 测度的遍历分解中，并且据猜想也出现在 Hardy 函数及其导数的联合矩的渐近性中。我们的第一个主要结果在全部参数值范围 $s>-\frac{1}{2}$ 内建立了 $\mathbf{X}(s)$ 的特征函数与 $\sigma$-Painlevé III' 方程之间的联系。我们的第二个主要结果给出了对于整数值 $s$ 的 $\mathbf{X}(s)$ 的绝对值的密度及其所有复矩的首个显式表达式。最后，我们针对 Bessel 点过程逆点之和的 Laplace 变换，建立了与 $\sigma$-Painlevé III' 方程的另一个特例的类似联系。