第三十四Painleve方程一个特解的渐近行为

在先前的文章中，我们研究了形如 $Z_{n,N}^{-1} |\det M|^{2\alpha} e^{-N \Tr V(M)} dM$ 且 $\alpha > -1/2$ 的酉随机矩阵系综的双标度极限。因子 $|\det M|^{2\alpha}$ 在原点附近诱发了临界本征值行为。在假设与 $V$ 相关的极限平均本征值密度是正则的，且原点是其支集的右端点的情况下，我们利用关于权重 $|x|^{2\alpha} e^{-NV(x)}$ 正交的线上多项式的 Riemann-Hilbert 问题的 Deift-Zhou 最速下降法，计算了当 $n, N \to \infty$ 且 $n^{2/3}(n/N-1) = O(1)$ 时双标度极限下的极限本征值关联核。我们的主要注意力集中在利用与第三十四Painleve方程的特解 $u_{\alpha}$ 相关的 $\psi$-函数，在原点附近构造局部参数。该解与第二Painleve方程的一个特解相关，但不同于通常的 Hastings-McLeod 解。在本文中，我们计算了当 $s \to \pm \infty$ 时 $u_{\alpha}(s)$ 的渐近行为。我们推测该渐近行为表征了 $u_{\alpha}$，并基于对包含 $u_{\alpha}$ 的第三十四Painleve方程解的单参数族的渐近分析，提出了支持论据。我们将该族识别为第三十四Painleve方程的截断解族。