与广义 Hermite 多项式相关的有理 Painlevé-IV 函数的大阶数渐近行为
数学物理
2017-06-29 v1 经典分析与常微分方程
math.MP
可精确求解与可积系统
摘要
Painlevé-IV 方程有三族由广义 Hermite 多项式生成的有理函数解。每一族由两个正整数 m 和 n 索引。这些函数在非线性波动方程、随机矩阵、流体动力学和量子力学中均有应用。数值研究表明，其零点和极点形成一个变形的 n×m 矩形网格。经过适当缩放，当 m 和 n 以固定比值 r=m/n 趋于无穷大时，零点和极点似乎密集填充某些曲线矩形区域。我们推广了 Bertola 和 Bothner 用于研究有理 Painlevé-II 函数的方法，将广义 Hermite 有理 Painlevé-IV 函数用单位圆上的某些正交多项式表示。利用 Deift-Zhou 非线性最速下降法，我们在 n 趋于无穷大且 m=r*n（r 固定）的极限下，对相关的 Riemann-Hilbert 问题进行了渐近分析。我们得到了边界曲线的显式刻画，并确定了函数在无极点区域的首阶渐近展开式。
引用
@article{arxiv.1706.09005,
title = {Large-degree asymptotics of rational Painleve-IV functions associated to generalized Hermite polynomials},
author = {Robert Buckingham},
journal= {arXiv preprint arXiv:1706.09005},
year = {2017}
}
备注
25 pages, 12 figures