基于等单值方法的 rational Painleve-IV 解的大参数渐近性

Painleve-IV 方程有两族有理解，分别由广义 Hermite 多项式和广义 Okamoto 多项式生成。我们应用等单值方法，通过两个相关的 Riemann-Hilbert 问题来表示所有这些有理解，其中每个问题都涉及两个与 Painleve-IV 方程中的两个参数相关的整数值参数。然后我们使用最速下降法来分析至少一个参数很大时极限下的有理解。我们的分析为形式渐近论证提供了严格证明，这些论证表明一般来说具有大参数的 Painleve-IV 解表现为代数函数或椭圆函数。此外，结果表明椭圆近似在一条曲边矩形区域的并集上成立，并且在广义 Okamoto 有理解的情况下，还在四个曲边三角形上成立，其中每个三角形与矩形共用一条边；代数近似在互补的无界域中有效。我们将关于极点和零点位置的理论预测与从生成多项式得到的实际极点和零点的数值图进行比较，发现高度吻合。