Painlevé-II方程有理解再探
可精确求解与可积系统
2017-08-17 v2 数学物理
经典分析与常微分方程
math.MP
摘要
Painlevé-II方程的有理解出现在若干应用中，并已知具有许多显著的代数与分析性质。它们还有几种不同的表示，以不同方式有助于确立这些性质。特别地，黎曼-希尔伯特(Riemann-Hilbert)表示已被证明可用于提取大次数极限（等价地大参数极限）下有理解的渐近行为。我们回顾有理Painlevé-II函数的初等性质，然后描述文献中出现的三种不同黎曼-希尔伯特表示：基于Flaschka-Newell Lax对的等单值性理论的一种表示，基于Jimbo-Miwa Lax对的等单值性理论的第二种表示，以及Bertola和Bothner发现的与伪正交多项式相关的第三种表示。我们证明有理Painlevé-II函数的Flaschka-Newell与Bertola-Bothner黎曼-希尔伯特表示彼此显式相连。最后，我们回顾近期利用最速下降法从这些黎曼-希尔伯特表示得到的关于有理Painlevé-II函数渐近行为的结果。
引用
@article{arxiv.1704.04851,
title = {Rational Solutions of the Painlev\'e-II Equation Revisited},
author = {Peter D. Miller and Yue Sheng},
journal= {arXiv preprint arXiv:1704.04851},
year = {2017}
}