修正 Bessel 函数行列式与第二 Painlev\'e 方程的渐近性

在本文中，我们通过在势中引入对数项来考虑扩展的 Gross-Witten-Wadia 酉矩阵模型。该模型的配分函数可以等价地表示为 Toeplitz 行列式，其 $(i,j)$ 元为阶数为 $i-j-\nu$ 的修正 Bessel 函数，其中 $\nu\in\mathbb{C}$。当次数 $n$ 有限时，我们证明该 Toeplitz 行列式由 Painlev\'{e} III 方程的等谱 $\tau$-函数描述。作为双重缩放极限，当次数 $n\to\infty$ 时，我们建立了 Toeplitz 行列式对数导数的渐近近似，其用带有参数 $\nu+\frac{1}{2}$ 的非齐次 Painlev\'{e} II 方程的 Hastings-McLeod 解表示。还推导了相关正交多项式的首项系数和递推系数的渐近性。我们通过对 Hankel 回路上的正交多项式的 Riemann-Hilbert 问题应用 Deift-Zhou 非线性最速下降法获得了这些结果。此处的主要关注点是在临界点 $z=-1$ 处构造局部参数化，其中涉及非齐次 Painlev\'{e} II 方程的 Jimbo-Miwa Lax 对的 $\psi$-函数。