Painlevé III$'$ 与由奇异扰动高斯权重生成的 Hankel 行列式

本文研究由奇异扰动高斯权重 $$w(x,t)=\mathrm{e}^{-x^{2}-\frac{t}{x^{2}}},\;\;x\in(-\infty, \infty),\;\;t>0.$$ 生成的 Hankel 行列式。利用与正交多项式相关的阶梯算子方法，我们证明了该 Hankel 行列式的对数导数同时满足一个非线性二阶差分方程和一个非线性二阶微分方程。该 Hankel 行列式还容许一个涉及 Painlevé III$'$ 的积分表示。进一步，我们考虑在双重标度下即 $n\rightarrow\infty$ 且 $t\rightarrow 0$ 使得 $s=(2n+1)t$ 固定时 Hankel 行列式的渐近性。我们建立了缩放后 Hankel 行列式对于大 $s$ 与小 $s$ 的渐近展开，其中出现了 Dyson 常数。