高斯酉矩阵间隙概率分布与Painlevé V 方程

我们考虑由偶权函数 ${\rm e}^{-x^2}(A+B\theta(x^2-a^2)), x\in(-\infty,+\infty), a>0, A\ge0, A+B\ge0$ 生成的 Hankel 行列式， 这与高斯酉ensemble在区间 $(-a,a)$ 或 $(-\infty,-a)\cup(a,+\infty)$ 上的间隙概率密切相关。我们推导了与该权函数正交的单项式多项式的 ladder算子及三个补充条件。通过使用这些算子和求导正交关系，我们得到该三个辅助量的差分方程和Riccati方程。从这些方程，我们获得了单项式正交多项式三项 recurrence 关系系数的二阶差分方程和二阶二次常微分方程。此外，我们建立了 Hankel 行列式对数导数的二阶四次常微分方程。当 $n\to\infty$ 且 $a\to0^{+}$ 且 $\tau=2\sqrt{2n}a$ 固定时，该方程化为变量 $\tau$ 中的 $\sigma$ 形式Painlevé V 方程。