有限与标度化 Cauchy 随机矩阵系综中的间隙概率

在单位圆上带有奇异权重的有限 $N\times N$ 随机酉系综的特征值谱中的间隙概率，以及线上相关的带有 Cauchy 权重的厄米系综的间隙概率，被精确求得。从单区间和双区间中排除的有限情形由二阶二次常微分方程给出，这些方程与某些 \mbox{Painlev\'e-VI} 超越函数相关。热力学极限中标度化后的情形再次是二阶二次的，这一次与 \mbox{Painlev\'e-V} 超越函数相关。利用联系二次常微分方程与超越函数的变换，我们证明了标度化体相极限的一个恒等式，它导出了间距概率密度函数的简单表达式。我们还以简单而透明的方式将 Fredholm 行列式形式中出现的所有变量与特定的 \mbox{Painlev\'e} 超越函数相联系，并展示了它们的标度行为。