有限高斯与 Jacobi 酉矩阵系综中边缘区间的间隙概率

我们求得了有限维 $N \times N$ 随机矩阵 Hermite 与 Jacobi 酉系综在某些单区间与分离双区间上特征值谱的间隙概率。这些情形存在反射对称性，且概率可分解为定义于单区间上的另两个相关概率。我们的研究利用了由间隙概率的 Fredholm 行列式表达式导出的偏微分方程组，以及 Hermite 与 Jacobi 正交多项式满足的微分-递推方程。研究中我们得到了定义一般 $N$ 情形下概率的二阶与三阶非线性常微分方程。对 N=1 与 N=2，概率亦即方程的解被显式给出。在 Hermite 情形中，由方程得到了大间隙尺寸的渐近展开，并研究了当 $N \to \infty$ 时 Hermite 谱边缘的标度以及 Jacobi 到 Hermite 的极限；这后两项研究与本文或先前已知的其他情形相对应。此外，Hermite 系综中出现的微分方程以 {Painlevé-V} 超越函数及其导数的显式有理函数形式解出，在两个 Jacobi 情形中也给出了类似解，但此次涉及 {Painlevé-VI} 超越函数。