Painlevé VI 与酉雅可比系综

最初在常微分方程研究中出现的六个Painlevé超越函数已在物理问题中找到了众多应用。众所周知的例子包括来自稳态轴对称爱因斯坦流形的Ernst方程的对称约化，以及McCoy、Tracy和Wu工作中二维伊辛模型的自旋-自旋关联函数。本文研究的问题源于随机矩阵理论，即由Tracy和Widom首次研究的有限$n$雅可比酉系综的最小特征值分布。这等价于计算谱在区间$[0,t]$上无特征值的概率。此类系综也出现在多元统计中，称为双Wishart分布。我们考虑一个更一般的模型，其中雅可比权重被一个不连续因子扰动，并研究相关的有限Hankel行列式。结果表明，Hankel行列式的对数导数满足一个特定的$\sigma$形式的Painlevé VI方程，该方程同样适用于间隙概率。我们还精确计算了当$t\to 1^-$时间隙概率的首项。