作为 U(N) 平均的一类 PVI τ 函数所满足的离散 Painlevé 方程

在最近的工作中,对应于单位圆上权函数 $w(z)=\prod^m_{j=1}(z-z_j(t))^{\rho_j}$ 的双正交多项式及相关量的差分方程(Laguerre-Freud 方程)被推导出来。这里证明,在 $m=3$ 的情形下,这些差分方程当应用于底层 U(N) 平均的计算时,可约化为一个耦合系统,该系统可辨识为 Adler 和 van Moerbeke 利用 Toeplitz 格与 Virasoro 约束方法所得者。此外还证明,该耦合系统可约化给出离散第五 Painlevé 方程 \dPV,正如其在第六 Painlevé 系统理论中出现那样。基于 Bäcklund 变换的仿射 Weyl 群对称性的方法此前已给出 \dPV 方程,但对同一问题参数不同。我们找到了两种形式间的显式映射。将我们的结果应用于给出随机矩阵圆酉系综中间隙概率与矩的递推关系,以及方格 Ising 模型的对角自旋-自旋关联函数。