Painlevé VI、Painlevé III及与退化Jacobi酉系综相关的Hankel行列式

本文研究由扰动Jacobi权生成的Hankel行列式, 其与退化Jacobi酉系综的最大和最小特征值分布密切相关。利用正交多项式的阶梯算子方法, 我们发现Hankel行列式的对数导数满足一个非线性二阶微分方程, 经平移变换后该方程即为Painlevé VI方程的Jimbo-Miwa-Okamoto $\sigma$-形式。我们还表明, 在适当的双尺度下, 该微分方程可约化为Painlevé III的Jimbo-Miwa-Okamoto $\sigma$-形式。最后, 我们分别获得了两种重要情形下Hankel行列式当$t\rightarrow1^{-}$和$t\rightarrow0^{+}$时的渐近行为。