带有极点奇异性的扭尔特权行列式与广义 Painlev\'e III' 方程

我们研究权函数 $x^{\alpha}{\rm exp}(-x-t_1/x-t_2/x^2), x\in[0,+\infty)$ 的 Hankel 行列式，其中 $\alpha>-1,~t_1\in\mathbb{R}\setminus\{0\}, ~t_2>0.$ 与先前研究中讨论的权函数 $x^{\alpha}{\rm e}^{-x-t_1/x}$（其中 $\alpha,t_1>0$）相比，本文扩展了 $\alpha$ 的范围，并引入参数 $t_2$ 在原点处引入更“强烈”的零点。这导致 Hankel 行列式行为更为多样，$t_1$ 与 $t_2$ 之间的相互作用引入不确定性和分析复杂度。通过利用关联单正交多项式满足的 ladder 算子对和三个兼容性条件，我们证明递推系数可表达为四个辅助量，这些量满足一组差分方程，可迭代求解。我们还建立了两个二阶偏微分方程 (PDE)，其中两个辅助量满足，当 $t_2\rightarrow0^+$ 时，可化简为 Painlev\'{e} III$^\prime$ 方程。此外，证明 Hankel 行列式对数导数满足一个二阶六阶 PDE，当 $t_2\rightarrow0^+$ 时，可化简为 Painlev\'{e} III$^{\prime}$ 方程的 $\sigma$ 形式。在合适的双变量缩放下，我们获得上述 PDE 的极限形式，并推导出单一矩阵模型本征值的平衡密度。我们扩展了分析到权函数 $x^{\alpha}\exp(-x-\sum_{k=1}^m t_k/x^k)$ 的 Hankel 行列式，其中 $m=3$。对于一般的 $m$，我们概述了推导过程，至少在原理上可得 Hankel 行列式对数导数的 PDE。