奇异扰动 Laguerre 权重的正交多项式、Hankel 行列式与渐近性

基于 Chen 和 Its 的工作 [\emph{J. Approx. Theory} \textbf{162} ({2010}) {270--297}]，我们进一步研究了关于奇异扰动 Laguerre 权重 $w(x;t,\alpha) = {x^\alpha}{\mathrm e^{- x-\frac{t}{x}}}, \; x\in\mathbb{R}^{+},\;\alpha > -1,\; t\geq 0$ 的正交多项式。通过使用阶梯算子和一般 Laguerre 型权重正交多项式的相关相容性条件，我们推导了正交多项式满足的二阶微分方程、关于递推系数的差分方程组和微分-差分方程组。我们还研究了正交多项式零点的性质。利用 Dyson 的 Coulomb 流体方法连同离散系统，我们获得了对于固定 $t>0$ 时递推系数、首一正交多项式的次领头系数、Hankel 行列式和归一化常数的大 $n$ 渐近展开。发现所有渐近展开在 $t=0$ 处均是奇异的。我们还从 Toda 型系统显式研究了固定 $n\in\mathbb{N}$ 时这些量的长时间（$t\rightarrow+\infty$）渐近性。