复平面中一类具有离散旋转对称性的测度的正交多项式

我们得到了多项式 $p_n(\lambda)$ ($\lambda\in\mathbb{C}$) 的强渐近性，这些多项式关于复平面中形式为 $$e^{-N(|\lambda|^{2s}-t\lambda^s-\overline{t\lambda}^s)}dA(\lambda)$$ 的测度正交，其中 $s$ 是一个正整数，$t$ 是一个复参数，$dA$ 表示平面上的面积测度。该问题源于正规矩阵模型。我们研究了 $p_n(\lambda)$ 在 $n,N\to\infty$ 且 $n/N\to T$ 为常数这一极限下的渐近行为。根据正规矩阵模型特征值分布的极限支集的拓扑结构，这种渐近行为有两种不同的状态。如果 $0<|t|^2<T/s$，特征值分布支集是复平面的一个单连通紧集，而当 $|t|^2>T/s$ 时，特征值分布支集由 $s$ 个连通分量组成。相应地，正交多项式的极限零点分布的支集包含在每个连通分量内的一个闭合围道。我们的渐近分析是通过将多项式的平面正交性条件简化为一个等价的围道积分正交性条件系统来获得的。正交多项式的强渐近性是通过 Deift-Zhou 非线性最速下降法从相应的 Riemann-Hilbert 问题中得到的。